问：光滑曲线
- 答：按照光滑曲线的定义，椭圆是光滑曲线，虽然在左右两个顶点处，切线的斜率不存在（实际上是无穷大！），但切线是存在的，只不过切线与x轴垂直罢了。考虑这种点的情形时，只要把y当作自变量，x看作是y的函数，导函数在这两个点是连续的。
因为我们已经约定讨论的函数是单值的，曲线的方程可以是y=f(x)，也可以是x=g(y)，还可以是参数方程表示的，曲线在某个区间内光滑，就是相应的函数在这个区间内有连续的导数。
你的表述里把定义域改为区间，把括号及括号里的字去掉就正确了。
问：什么是光滑曲线
- 答：各个领域的光滑曲线解释不一样。高等数学微积分这块的定义是：若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。
高中生的话可以理解为曲线每一点都存在切线。不是任意曲线都存在切线，是光滑曲线才每一点都存在切线。这涉及到曲线的定义。高中接触到的曲线都是光滑的，所以在你看来都是任一点都是有切线的。到以后你会慢慢发现的。
切点的移动切线不停转动。就是切点慢慢变动，切线斜率慢慢变大或者变小。比如x的平方这个函数，在0的右边，从0开始，切线斜率为0，越往左，斜率越大，角度越大，这样就是转动。
如果你是大学生的话可以给你举个例子。f(x)=x^2*sin(1/x),f(0)=0。
f处处可导，但导数在0点不连续。换句话说，曲线(x,f(x))在原点不光滑。
问：光滑的曲线有什么性质
- 答：光滑的曲线有可导性质。
所谓光滑就是没有尖点、断点，在数学上就是指“可导”（导数存在）。各个领域的光滑曲线解释不一样。高等数学微积分这块的定义是：若函数f(x)在区间(a，b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。
基本介绍
光滑曲面是指有连续变动的切平面的曲面，或者说有可以处处连续移动的单位法向量的曲面.若D是R²中有界的若尔当可测闭区域，向量值函数φ：D→R³是C¹类的(这意味着φ在包含D的某个开集上是C¹类的)，且对任意t∈D，D1φ(t)×D2φ(t)≠0(即雅可比矩阵Jφ(t)的秩是2)，这里D1，D2表示偏导数，则点集S=φ(D)称为R³中的光滑曲面。
