一、方程组特殊解法两种（论文文献综述）
刘习[1]（2021）在《HPM视角下二元一次方程组教学研究》文中研究指明义务教育阶段中,“方程思想”一直是一以贯之的。在小学阶段,方程的主要用途是把原来的未知数值用一些未知数来代替,直接列等式进行计算。对于简单的计算问题,方程的优越性可能并不明显,但因其具有通用性,往往越是复杂的问题就越能体现其优越性。在初中阶段的方程组,让“用方程解决问题”的优势更加夺目,但如何让学生爱上方程的课堂,更好的体会解方程中的“消元思想”一直是实际课堂教学中的一个难点。HPM（History Pedagogy of Mathemat）ics领域近年来受到相关学术界学者的普遍关注。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出在教学中要注重学生数学学习的良好体验。已有研究表明,用数学史融入的方式进行课堂教学在学生数学情感的发展等方面有着良好的促进作用。基于以上,对某中学七年级数学教师进行了访谈及问卷调查,了解了教师对数学史融入教学的看法以及应用情况、学生在二元一次方程组的学习中所存在的几个问题,有以下几点发现:（1）数学教师对数学史融入到实际课堂的认可度较高但实际应用率较低;（2）此方式未被普遍用到课堂中的主要原因为教师自身对数学史知识了解的有限性以及缺少可参考的案例;（3）当下二元一次方程组的教学是存在一定的困难的,比如学生对“消元思想“不理解”,对方程组不能够灵活应用等。为了探讨此教学方式对学生知识理解方面和部分情感态度方面的影响,同时为一线教师提供可参考案例,本研究选取七年级两个平行班级（分别作为实验班与对照班）学生为研究对象,在皮亚杰认识发生论、历史相似性等理论的指导下,根据HPM教学设计原则方法并结合现实情况进行教学设计并实施,进行二元一次方程组及其解法应用的教学。通过问卷调查、访谈资料、课堂教学实录等材料作为研究数据,对数据进行分析,得到以下结论:（1）将二元一次方程组史料融入到教学中对学生解方程组的本质“消元”有一定的正面的影响,学生即使在未用规范步骤解方程组的情况下也能相对较好的运用“消元思想”解决方程组问题;（2）大多数学生对方程组的历史比较感兴趣且认可数学史融入方程组教学对理解解方程组的“消元思想”有一定帮助;在课堂中此方式能比较好的吸引学生注意力,学生对于数学课的态度有一定的正向的变化。
王杰[2]（2021）在《高观点下初中方程教学的主要问题与解决策略》文中研究说明方程是代数思想的起源。面对一个未知的数,我们希望求解它,那么我们利用和未知量有关的限制条件,再结合等量关系组成等式,我们就得到了有关未知量方程或者方程组。有了方程就相当于正式承认变量或者未知数能够作为一个独立的对象。从方程在课程标准中的变化来看,学生不仅仅需要掌握方程的解法,同时还需要学生掌握方程与不等式和函数之间的联系,也就是用函数的观点去看方程。最后需要让学生体会方程思想在解决问题中的便利性,注重培养学生逆向思维。同时也要注重借用方程学习的这一过程,培养学生的核心素养。本文先说明了方程这一内容在课程标准中的变化,再结合方程发展的历史,重点介绍了几种方程的解法,例如公式法,配方法、因式分解法、换元法,同时也介绍了一些方程组的解法。例如克拉默法则、矩阵法等等。这一部分是高等数学中的方程知识,作为教师必须要掌握这部分内容才能将“高观点”更好的融入教学。教师借助在教学中融入“高观点”,提高学生的核心素养和关键能力,为学生后续的学习产生深远的影响。为了更加详细的掌握学习者在学习方程过程中所遇到的问题,采用测试卷和调查问卷结合的方式,分析出真实存在的问题,为教师的教学提供必要的帮助。测试卷将设置五种题型,考察学习者对方程知识的掌握程度。通过分析测试卷,所获得的结论是:（1）有部分学生对生活中或者其他学科中存在的等量关系不太熟悉。（2）学生对二次方程的根的判断和对含有参数的方程组成立条件的判断存在模糊不清的现象。（3）学生在解方程时,方程的解法过于单一,并且对于解方程的通性、通法掌握有点欠缺。（4）学生对方程概念的理解也存在疏忽。（5）学生在方程应用题部分,尤其是对函数与方程结合的应用题存在不少问题。调查问卷主要是为了分析出学生在学习方程时会遇到的问题,调查问卷所获得的结论是:（1）有部分学生在课堂方程学习过程中缺少思考,没有对方程进行一题多解的习惯。（2）学生在做方程内容的作业时,存在不认真完成,不检验方程解的情况。（3）学生在课后没有认真复习课上学习到的方程的解法以及相关概念。（4）部分学生对自己存在错误的方程习题不及时进行错题整理与归纳总结。将“高观点”融入课堂教学的实际执行者是教师,因此,本文采用调查问卷的方式,调查不同学校和年级的中学教师将“高观点”融入教学的实际情况。通过调查后所获得的结论为:（1）大部分的教师都认为“高观点”对中学数学是存在影响的,对于教材分析也会联系到“高观点”。（2）有部分教师会去阅读渗透“高观点”的数学参考书。（3）部分教师会利用已经下放到教材里的高等数学的知识去解决有关方程问题。（4）总的来看,新教师比老教师更乐于利用“高观点”。最后结合对学生和教师的调查结果提出一些将“高观点”融入教学的建议,包括等式概念的教学、方程解法的教学、方程应用的教学以及函数、方程、不等式关系的教学。同时为了更好的进行这些教学又对中学学校和一线中学教师提出一些必要的建议。
郑培珺[3]（2020）在《不同的引入各显精彩——以“求解二元一次方程组（1）”为例》文中进行了进一步梳理本文选取北师大版八年级上册第五章第二节内容"求解二元一次方程组（1）"来研究,在不同引入下所呈现的效果不同.好的引入能激发学生的数学学习兴趣;展示本节课教学内容的"必要性"和"可学性";揭示数学的内涵和本质.不同引入都基于用代入法求解二元一次方程组,体会消元过程中的数学化归思想.教师应根据学生实际学情和教学的需要,选择适合学生的引入.这也体现教学的艺术性,以更加生动有趣、高效、能为学生所接受的引入开始美妙的数学之旅.
张维红[4]（2020）在《复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究》文中研究指明本文主要针对三类大型稀疏线性系统的数值求解问题展开研究,这三类线性系统分别是复对称线性方程组、线性互补问题以及线性离散不适定问题.对这些问题构造快速高效的数值求解方法具有重要的理论价值和实际意义.第二章中对于一类常见的复对称线性方程组,我们将极小残量技术与修正的Hermitian和反Hermitian分裂（MHSS）迭代方法相结合,提出了一种求解上述复对称线性方程组的新的迭代格式,将其称为极小残量的MHSS（MRMHSS）迭代方法.与经典的MHSS迭代方法相比,MRMHSS迭代格式中多了两个迭代参数,但是它们的值可在迭代过程中方便地确定下来.然后,我们详细分析了MRMHSS迭代方法的理论性质.最后,通过四个实际应用中常见的数值算例并通过与几类现有方法进行比较验证了MRMHSS迭代方法的可行性和可靠性.第三章中对于一类大型稀疏且具有非对称正定系数矩阵的线性互补问题,我们将该问题转换为与之等价的隐式不动点方程组,然后给出一种高效的模系矩阵分裂迭代方法,称之为MINPS方法.该方法由内外迭代组成,其中,外迭代借助于模迭代格式,内迭代采用非精确计算方式对每步外迭代中的模迭代方程组实行预处理矩阵分裂迭代技巧.详细地分析了算法的收敛性质,亦通过数值例子比较了MINPS与已有迭代方法,获得了所论算法求解线性互补问题的有效性和可行性.对于科学计算和工程应用中广泛存在的线性离散不适定问题,LSQR是解决这类问题非常有效的方法之一,它具有存储量小、数值稳定性好等优点.但是,考虑到LSQR的迭代解具有半收敛性,即如果迭代步数太少那么迭代解不足以包含问题的解的足够信息,而迭代步数太多将导致迭代解积累大量的误差,所以如何及时地停止LSQR迭代过程显得至关重要.在第四章中,我们通过提出一种简单有效的停止准则进一步研究了LSQR迭代方法,具体来说,就是利用LSQR方法和Craig方法所得迭代解的残差来判定LSQR的正则参数.大量数值结果表明该方法能够很好地解决测量数据中噪音水平未知的实际问题.第五章中我们再次考虑了上述线性离散不适定问题,它的解对数据的扰动非常敏感,通常使用正则化方法来降低解的这种敏感性.基于Donatelli和Hanke（2013）提出的迭代Tikhonov正则化方法（AIT）,该方法中用一个易于运算的近似矩阵来近似原矩阵,从而能够减小计算量并对一些实际问题有很好的效果.但是,AIT方法的收敛条件在实际应用中很难满足且对数据扰动较为敏感,为此,我们提出了一种更加稳定的迭代方法来求解线性离散不适定问题,将该方法称为MAIT.文中对该方法的理论性质和收敛情况做了细致的分析.通过数值实验还发现,MAIT方法比AIT方法的适用范围更广泛,特别当测量数据中误差水平较低时,AIT会失效,但MAIT方法仍然可以有效地求解这类问题.
李成梁[5]（2020）在《具有特殊块结构线性系统的数值算法研究》文中研究说明在科学和工程的许多重要领域中,如数字图像处理、计算流体力学、结构动力学、油藏模拟、电磁学问题和约束优化问题等,经过适当的数值离散都会得到一系列具有不同块结构的大规模稀疏线性系统.而快速高效地求解这类线性方程组已成为科学与工程领域的核心问题之一,具有非常重要的理论意义和实用价值.本文旨在研究几类具有特殊块结构的大型稀疏线性系统:鞍点问题、复线性系统和块2×2线性系统,利用系数矩阵的块结构或性质,构造了一系列有效的迭代方法和预处理子.主要成果如下:针对非奇异鞍点问题,研究了两类有效的变形迭代法及预处理子.首先在实数域上设计了一类加速的SSOR（ASSOR）迭代法,分析了该方法在一定条件下是收敛的,数值实验说明了该方法是有效的.然后在复数域上提出了一类Uzawa-正定和半正定分裂（Uzawa-PPS）迭代法及预处理子,分析所提方法的收敛性和预处理矩阵的谱性质,数值实验验证了Uzawa-PPS迭代法及预处理子的可行性和有效性.针对非奇异复线性系统,研究了三类有效的Euler外推迭代法及预处理子.首先在系数块矩阵为对称半正定时提出了一类Euler外推Hermitian和反Hermitian（EHS）迭代法及预处理子,给出了E-HS方法的收敛性条件和最优迭代参数,并得到了预处理矩阵的特征值分布.其次在相同假设条件下设计了一类正则化的Euler外推HS（RE-HS）迭代法及预处理子,并分析了RE-HS方法的收敛性和预处理矩阵的谱性质.最后在系数块矩阵为正定时构造了一类交替的Euler外推HS（AE-HS）迭代法及预处理子,证明了AE-HS方法是无条件收敛的.同时,相应的数值实验说明了这三类Euler外推迭代法及预处理子的可行性和有效性.针对奇异复对称线性系统,研究了两类有效的单步迭代法及预处理子.首先考虑参数化单步的HSS（P-SHSS）迭代法及预处理子,分析了该方法的半收敛性和拟最优迭代参数,并讨论了预处理矩阵的谱性质.然后考虑所提出的RE-HS迭代法及预处理子,得到了RE-HS方法的半收敛性条件和预处理矩阵的谱性质.同时,数值实验结果表明了这两类单步迭代法及预处理子是可行的和有效的.针对非奇异块2×2线性系统,研究了三类有效的Givens外推迭代法及预处理子.首先在系数块矩阵为对称半正定时构造了一系列Givens外推块分裂迭代法及预处理子,分析了所提方法的收敛性和最优迭代参数,并讨论了预处理矩阵的特征分布.其次在系数块矩阵满足一定条件时设计了非精确的Givens外推块分裂预处理子,讨论了预处理矩阵的谱性质.最后提出了一类Givens外推SSOR（G-SSOR）迭代法,分析得到了G-SSOR方法的收敛性条件和最优迭代参数.同时,数值实验验证了这三类Givens外推迭代法及预处理子的可行性和有效性.
王路遥[6]（2020）在《可分离非线性最小二乘及其在空间坐标转换参数解算中的应用》文中研究说明非线性最小二乘是最优化问题的一个重要分支,随着电子计算机的发展和应用,非线性最优化理论和方法有了很大发展。在测量平差、变形监测、神经网络等领域中经常需要进行模型的参数估计或数据拟合,这两类问题的数学模型一般根据来源与实际工程的应用都是有特殊形式的,其中,若模型结构是非线性函数的线性组合,称这一类问题为可分离非线性最小二乘问题。本文围绕可分离非线性最小二乘解算过程中参数分离的变量投影算法（Variable Projection,VP）的改进、非线性参数估计的迭代算法以及应用进行研究,其主要研究内容包括以下几个方面:（1）针对可分离非线性最小二乘参数分离过程中,非线性函数构成矩阵计算的复杂性问题,基于满秩分解、QR分解、奇异值分解、施密特正交化等矩阵分解方法对变量投影算法进行改进,通过矩阵分解,简化参数分离过程中矩阵的运算,提高计算效率;（2）针对非线性方程组解算过程中的迭代方法分析了信赖域法和Levenberg-Marquardt算法基本原理,并通过Mackey-Glass时间序列模拟实验和北京54坐标系与WGS84坐标系之间的转换模型参数求解实验,对比了两种迭代算法的优缺点;（3）将基于施密特正交分解改进的变量投影算法应用到空间直角坐标转换参数的求解问题,分别采用传统参数不分离的方法、经典变量投影法（VP）、基于满秩分解的VP算法、基于QR分解的VP算法、基于奇异值分解的VP算法和基于施密特正交化的VP算法进行解算,并在计算时间、迭代次数、函数计算次数以及残差平方和等方面进行算法对比。论文围绕可分离非线性最小二乘解算过程中变量投影算法的改进,参数估计迭代算法进行研究参数估计优化问题的求解,考虑可分离非线性最小二乘问题的特殊结构,设计出比直接采用一般非线性最小二乘算法更有效的解算方法,并结合大地测量中存在的可分离非线性模型问题,进行了解算方法的应用研究。本文结合可分离非线性最小二乘问题的结构特点,通过基于矩阵分解改进的变量投影算法将模型中的线性参数用非线性参数表示,进而转化为仅含非线性参数的最小二乘问题,并采用信赖域法和Levenberg-Marquardt算法对非线性参数进行优化估计。通过模拟实验和真实实验数据对改进的变量投影算法进行验证与分析,实验结果表明在解算结果精度一致的条件下,不同改进后的变量投影算法在迭代次数、函数计算次数和计算效率等方面有不同程度的提升。
侯国亮[7]（2020）在《方程组解的可信验证方法》文中进行了进一步梳理传统的数学证明是用纸和笔来完成的,而随着计算机技术的发展,一些问题的数学证明已经可以利用计算机来完成.可信验证正是利用计算机来数学证明某个问题在某区间内存在解的一种方法.另外,可信验证方法还可以解决数值方法几乎不能完成的工作.代数方程组的可信验证问题,即是建立有效的可信验证方法给出包含方程组解的区间量,又称为方程组的解存在性检验,是可信验证研究课题中的最基本问题之一.本文主要研究代数方程组解的可信验证方法及其INTLAB实现.代数方程组的可信验证问题来源于科学及工程计算的许多领域,比如火箭喷口受力分析,核磁共振机设计,数码机床控制等高风险应用领域中的很多问题最终都要归结为非线性方程组解的可信验证问题;再比如Stokes方程的求解,约束与加权最小二乘估计,约束优化,电磁方程的计算,电力系统与网络构造,计算机图形学的网格生成等具体问题,最终则要转化成线性方程组解的计算与验证问题.因此,研究、发展和完善代数方程组解的可信验证方法及其具体的算法实现程序具有重要的理论意义和很高的实用价值.考虑一般的n个未知量n个方程的非线性方程组f（x）=0,（1）其中f:Rn→Rn,f=（f1,f2…,fn）T,f1,f2…,fn为n2元非线性函数.直到目前为止,Rump在1983年所做的工作仍然是检验其解存在的最为基本最为实用的可信验证方法.Rump可信验证方法（即解存在性定理3.1.2和验证算法3.1.1）是利用Brouwer不动点定理和改进的Krawczyk区间算子S（x,x）=-Rf（x）+（In-RJf（x+x））x（2）建立的,其中x∈ Rn,x∈IRn且 0∈x,Jf（x+x）=∩{M∈IRn×n|（?）x ∈ x+x,Jf（x）∈ M},R∈Rn×n为任意非奇异矩阵.在Rump可信验证方法中,矩阵R取为Jf（x）-1,即有S（x,x）=-Jf（x）-1f（x）+(In-Jf（x）-1 Jf（x+x）x=:SR（x,x）,（3）+其中Jf（x）-1为映射f在x处的雅可比（Jacobian）矩阵Jf（x）的逆矩阵.从实际计算的角度看,区间算子S（x,x）（2）的SR（x,x）（3）形式需要额外耗费一定的计算量和时间去计算矩阵Jf（x）和进行区间运算.而如果把区间算子S（x,x）（2）中的矩阵R取为(mid Jf（x+x）-1,则所有不足都将迎刃而解.在第三章,我们首先利用R=（mid Jf（x+x））-1和区间量x,Jf（x+x）的中点半径表示形式x=mid x+rad x[-1,1]=mid x+1/2wid x[-1,1]和Jf（x+x）=mid Jf（x+x）+1/2wid Jf（x+x）[-1,1]给出了区间算子S（x,x）（2）的另一种具体形式,即SH（x,x）:=-(mid Jf（x+x）-1 f（x）+1/4|（mid Jf（x+xc））-1|wid Jf（x+x）wid x[-1,1]+1/2|（mid Jf（x+x））-1|wid Jf（x+x）|mid x|[-1,1].（4）对比区间算子S（x,x）（2）的SR（x,x）（3）形式和SH（x,x）（4）形式,我们不难发现形式SH（x,x）（4）不再涉及矩阵Jf（x）的计算,而替代它的矩阵mid Jf（x+x）可以从这两种形式都要使用的区间矩阵Jf（x+x）中直接获取,即我们无需再花费额外的计算量和时间去计算矩阵mid Jf（x+x）;还能发现形式SH（x,x）（4）不会直接涉及区间量之间的运算,这是因为（mid Jf（x+x））-1,wid Jf（x+x）∈ Rn×n和mid x,wid x∈Rn,即这些矩阵和向量都不是区间量,而在形式SR（x,x）（3）中,区间量之间的运算是不可避免的,这又是因为In-Jf（x）-1 Jf（x+x）∈ IRn×n和x∈IRn,即这些量都是区间量.所以,基于形式SH（x,x）（4）建立的验证算法的计算量要比基于形式SR（x,x）（3）建立的验证算法低很多.另外,在一些附加条件下,我们还证明了包含关系SH（x,x）SR（x,x）成立,其中x∈ Rn为非线性方程组（1）的非奇异解或单根,即雅可比矩阵Jf（x）非奇异.然后在验证算法3.1.1的基础上,我们利用区间算子S（x,x）（2）的SH（x,x）（4）形式和解存在性定理3.1.2给出了改进验证算法3.3.1.和原验证算法3.1.1相比,理论分析和数值结果都表明,改进验证算法3.3.1不仅节约了验证时间,而且还可以给出宽度更窄（或至少相同）的包含非线性方程组（1）解的区间向量.由于基于Brouwer不动点定理建立的解存在性定理（比如定理3.1.1和3.1.2）的假设条件都是用一个区间上所有点的信息刻画的,这使得该类定理的假设条件不太容易满足,所以由其建立的可信验证方法（即Rump型可信验证方法）只有借助高精度的初值才能验证成功,这对Rump型可信验证方法的广泛应用是极为不利的.而对应的,由于Kantorovich存在定理的假设条件是基于一点的信息进行刻画的,这使得它的假设条件更容易得到满足,所以用其建立的可信验证方法对于精度较低的初值也能验证成功.由此可以想象的到,这类可信验证方法必定有着广泛的应用前景.在解存在性检验研究史上,曾经也有学者就应用Kantorovich存在定理检验非线性方程组（1）解存在问题进行过深入的研究,但遗憾的是所做的工作均处于理论阶段,没有给出具体的算法实现程序.在第四章,我们给出了应用Kantorovich存在定理验证非线性方程组（1）解存在的具体算法实现程序.Kantorovich存在定理是前苏联着名数学家Kantorovich在20世纪50年代研究非线性方程组（1）的Newton迭代解法的收敛性、误差估计等问题时提出、并利用优界方程思想证明的.其具体内容如下:定理1设非线性映射f:DRn→Rn及x∈ Rn满足下列条件:1.f（x）-1 存在,且 ‖f’（x）-1‖≤β,‖f’（x）-1（x）-1f（x）‖≤η;2.x∈U（x,2η）D,f’（x）存在且满足Lipschitz条件‖f’（x）-f’（y）‖ ≤ K‖x-y‖,x,y ∈ U（x,2η）.（5）若ρ:=kβη≤0.5,则非线性方程组f（x）=0于x的δ-领域U（x,δ）有唯一解x存在,其中δ=η.从定理1不难发现,应用Kantorovich存在定理验证非线性方程组（1）解存在的难点是严格计算Lipschitz条件（5）中的常系数k.为了解决这一难题,我们首先根据多元分析理论和矩阵理论,并借助张量表示法给出了一个可用于计算Lipschitz常系数K的具体表达式其中表示多元函数fi在x∈U（x,2η）处的二阶偏导数,i,j,k=1,2,…,n2.因为根据区间分析理论可知,对任意的x∈U（x,2η）有其中（?）（x）表示二阶偏导函数（?）在区间向量x=[x-2η,x+2η]上的具包含单调性的区间扩展,0≤yi∈IR,i,j,k=1,2,…,n,而区间yi可由INTLAB/Matlab命令语句Yi=fi（hessianinit（x））和yi=norm（Yi.hx,Inf）直接获得,所以在实际计算时,量Ki:=（?）的大小是通过区间量yi计算的,即ki=yi,其中yi为区间yi的上端点.于是K=n max{K1,K2,…,Kn}.然后在理论研究的基础上,我们利用INTLAB/Matlab软件给出了应用Kan-torovich 存在定理验证非线性方程组（1）解存在的具体算法实现程序,即算法 4.3.1和 4.3.2.相对于流行的Rump型验证算法（即算法3.1.1和3.3.1）,理论分析和数值实验均表明,我们的Kantorovich型验证算法（即算法4.3.1和4.3.2）具有以下两方面的优势:一是该验证算法对初值的精度要求不高,即该验证算法使用精度较低的初值就能验证成功;二是该验证算法具有承袭性,即在验证过程中,如果因为初值精度低导致验证失败,需要通过提高初值精度再次进行验证时,该验证算法在新的验证步中可以利用上个验证步中的部分运算结果以降低运算量.第五章研究了鞍点线性方程组（?）（7）的可信验证问题,其中矩阵A ∈ Rn×n对称正定,B∈ Rm×n行满秩;右端项c∈ Rn,d ∈Rm;向量x∈Rn,y ∈ Rm 为未知量;n≥m.该类问题的应用背景十分广泛,诸如计算流体力学,约束与加权最小二乘估计,约束优化,电磁方程的计算,电力系统与网络构造,计算机图形学的网格生成等具有不同应用背景的数学模型问题,最终都要转化为大规模的鞍点线性方程组（7）解的计算与验证问题.由于传统的线性方程组解的可信验证方法均需要使用系数矩阵的数值近似逆,而对于鞍点线性方程组（7）的系数矩阵H∈R（m-n）×（m-n）,一是其条件数会随着问题规模的扩大而变大;二是其逆矩阵一般情况下不再具有稀疏性,所以这些传统的可信验证方法对于维数l:=m+n很大的鞍点线性方程组（7）就不再有效.为了避免使用系数矩阵H的数值近似逆,2009年,Kimura和Chen首先利用块对角预处理子及其代数分析理论解决了量‖H-1‖2的实际计算问题,即（?）（8）然后他们利用界估计式（8）给出了线性方程组（7）如下的误差界:（9）其中u,u∈R1分别表示鞍点线性方程组（7）的准确解和满足一定精度的数值解.再由矩阵A和BBT的对称性,可得其中Q（A）表示矩阵A的谱半径.于是根据误差界（9）又可得（10）一般来说,误差界（10）比误差界（9）更容易实现.另外在条件下,还有（11）其中A-1和BBT-1分别表示矩阵A和BBT的满足一定精度的数值近似逆.由矩阵A和BBT的对称正定性和当今求逆方法的数值稳定性可知,数值矩阵A1和BBT-1是十分接近矩阵A1和（BBT）1的,所以条件‖A-1A-In‖∞<1和‖BBT-1（BBT）-Im‖∞<1是容易成立的.综上所述,Kimura和Chen的可信验证方法可归纳为如下形式:（12）可信验证方法（12）的优点是避免使用系数矩阵H的数值近似逆,采用了更易实现的误差界（10）,并应用界估计式（11）来达到快速计算量‖A-1‖∞和‖（BBT）-1‖∞的目的.该验证方法的不足是量‖（BBT）-1‖∞有时候会很大,这会导致可信验证方法（12）给出的结果没有实用价值.此外,尽管矩阵A是稀疏的,但是其数值近似逆A-1不再具有稀疏性.这将导致我们无法利用计算机有效解决更大规模的鞍点线性方程组（7）的可信验证问题.为了弥补可信验证方法（12）的不足,我们给出了如下的改进可信验证方法.首先,由矩阵A-1和（BBT）-1的实对称正定性可得其中λmin（·）表示实对称正定矩阵A和BBT的最小特征值.其次,如果还存在正实数α,β分别使得矩阵A-αIn和BBT-βIm亦为实对称正定矩阵,则λmin（A）>α>0 和λmin（BBT）>β>0.所以,我们有（13）最后,利用矩阵A的对称性和误差界（9）又可得（14）综上所述,我们的可信验证方法如下:（15）在实际应用时,为了确保可信验证的顺利实现和效果,可信验证方法（15）中的正实数α和β一般要分别选取为α=0.9λmin（A）或0.95λmin（A）,β=0.9λmin（BBT）或0.95λmin（BBT）,其中λmin（·）表示实对称正定矩阵A或BBT的最小特征值的数值近似,可采用反幂法求之.由于矩阵A和BBT的对称正定性和当今计算矩阵极大极小特征值技术的先进性,所以上述的解决方案是可行的.实对称矩阵A-αIn和BBT-βIm的正定性判断则由INTLAB函数isspd来完成.理论结果和数值结果均表明,改进后的可信验证方法（15）不仅耗费的计算时间比原可信验证方法（12）的少,而且给出的解的误差界也比可信验证方法（12）的小.另外,有关理论分析和数值结果还表明,可信验证方法（15）对于更大维数的鞍点线性方程组（7）仍然有效,所以可信验证方法（15）的适用范围要比可信验证方法（12）的广泛.除上述研究工作外,我们还利用鞍点矩阵H的特有结构和特殊性质以及矩阵基本理论,给出了界估计式（8）的另一种证明方法.与原证明法相比,新证明方法更简单明了.
师望舒[8]（2020）在《HPM实践对初中数学教师专业发展影响的个案研究》文中认为教师专业发展是教育发展的必然要求。世界各国普遍重视教师专业发展水平。教师专业发展是我国实施科教兴国战略的基本需要,关系着我国新课程改革的成败。教师的专业化程度常常决定着教师和国家的未来。面对现代教育发展,鉴于教师专业发展的多样性和持续性,教师专业发展水平如何提升,探索合理、有效的理念、方式与策略已成为我国教育面临的重要课题。HPM是History&Pedagogy of Mathematics（数学史与数学教育）的简称,关于HPM与数学教师专业发展的研究是当前教师发展领域的一个重要课题,HPM能否带来数学教师专业发展的变化?怎样带来变化?带来多大程度的变化?这些问题都有待于更深刻系统的研究。本研究主要采用个案研究法,对三个HPM实践个案进行追踪分析,并对实践教师的专业发展与变化进行评估,以期回答以下问题:1.HPM实践对教师专业发展产生了怎样的影响?在哪些方面促进了教师专业发展?2.HPM实践对教师专业发展产生了多大程度的影响?产生的影响如何进一步扩大（或因何受限）?3.通过HPM实践对提升初中数学教师专业发展水平有何对策建议?通过分析得到主要研究结论如下:1.HPM实践对初中数学教师专业发展的影响主要体现在以下三个方面:（1）对教师教学理念的影响:促成了教师数学观、教学观的改变;对HPM的价值有了更全面的理解;改变了教师对HPM的消极态度;提高了教师的教学效能感;增强了继续制作和使用HPM课例的意愿。（2）对教师专业知识的影响:HCK等六个维度均明显增强;发展具有阶段性、有限性;维度之间发展具有差异性。（3）对教师教学能力的影响:数学史与教学结合设计能力明显提高;教学反思能力增强;教学批判和研究能力提升;对学生认知预设能力明显增强。2.关于HPM实践对初中数学教师专业发展的影响程度。（1）HPM在实际教学中能促进教师专业发展各个维度的切实提高。具体来说,长时间的HPM实践使教师专业发展在各个维度得到显着提升。短时间的HPM实践使教师专业发展得到全面但有限的提升;（2）影响HPM实践对初中数学教师专业发展影响的主要因素是:数学史掌握程度;数学史教学方法;HPM教学时间的长短（经验的多少）;教师的自我效能感。3.关于通过HPM实践提升初中数学教师专业发展水平的对策建议:（1）学校方面:多措并举营造积极的HPM学习氛围,提高教师业务能力;充分发挥HPM合作共同体和专家指导作用,培养合作意识;组建专业化的HPM实践团队,促进团队整体提升;深化HPM研究,提高教师HPM科研能力（2）教师方面:主动丰富数学史理论与实践知识,发展HPM意识;积极开展HPM反思,提升教学水平;坚持四平衡原则,“精炼”使用史料;持续深入实践HPM,不断提升教师专业发展水平;加强同事之间HPM实践的交流、切磋;依托HPM实践,主动制定专业发展规划。
刘晓艳[9]（2020）在《基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究》文中提出近几年,医学图像的三维重建及可视化的研究日益增多,具有重要的学术意义和应用价值。华盛顿大学医学院在研究人体器官成像的过程中使用了无网格方法中的基本解方法（MFS）,并在临床实验中取得了显着的效果。前期已经通过在人体表面分布电极采样心脏数据,得到三维心脏图像,可及时发现心脏异常。他们现在研究孕妇早产预防,如果使用相同的技术也可以得到子宫的三维图像,检测胎儿的异常情况,但存在对胎儿构成伤害的风险,故希望尽量减少辐射,同时降低成本,并只在孕妇腹部位置采集表面数据,最终能够呈现完整子宫的三维图像。基于这个问题,本研究进行了数值实验的可行性探索。我们提出了一种基于离散数据点的偏微分方程三维隐式表面重构算法。采用径向基函数（RBF）近似特解法（MAPS）求解具有常Dirichlet边界条件的修正Helmholtz或Poisson方程。当某一区域的数据点丢失时,我们还考虑修复表面,并研究了表面重构最佳参数的选择。最后我们将研究对象扩展到不规则复杂表面的情况,通过构造特殊内部点作为辅助计算,高效重构了复杂表面。本研究的主要内容和结果如下:（1）给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解。在图像重构中用到的MAPS方法需要相关算子对应径向基函数的特解。本文给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解,这些都是使用Matern函数显式导出的,这种特殊解的推导进一步推广到二维和三维Helmholtz型算子的乘积情形。主要思想是将特殊解的推导与相关微分算子已知的基本解联系起来,利用新导出的特殊解,求解Helmholtz型方程的边值问题。采用留一交叉验证（LOOCV）算法为Matern基函数选择合适的形参。同时为避免MAPS数据量较大时可能产生病态稠密矩阵,我们使用了局部MAPS（LMAPS）,并检验了两种方法的有效性。（2）提出了一种基于偏微分方程的三维隐式表面重建算法。本研究提出通过求解具有常Dirichlet边界条件（=1）的非齐次修正Helmholtz方程,重建由一组点数据定义的三维曲面。MAPS由于其有效性和简单性,被选择为数值方法。我们提出的PDE模型是非齐次的,需要内部配置点,而这些内部点很容易得到。此外,我们还发现对简单图像内部点的数目和位置对曲面的重建影响不大。在我们的模型中,只需要几个内部点就足够了。适当选择PDE强迫项1)(（3）,PDE的解的值将在>1的区域外继续扩展。由于<1在区域内,>1在区域外,且PDE的解是连续的,因此存在解=1,这就是给定区域的曲面。因此,可以通过在包含区域的边界框中找到=1的所有点来识别隐式曲面。（3）器官图像的重构和修复。扫描装置可以方便地获取腹部的数据点。由于子宫位于腹部内,数据点很难获得,如果由腹部点推测子宫数据点,很大一部分数据点是不可用的,使用不完整的数据直接重构会导致顶部和底部的截面。在子宫顶部和底部添加两个增广点后,我们可以恢复大部分缺失的表面。如果是子宫一侧的数据点丢失,重构时会出现一个大洞。为了修补这个洞,我们选择了在=0.98的水平面上用PDE求解而不是=1的等高面。孔洞消失了,但整体表面略有缩小。牙齿的重构实验让我们知道内部点选取的重要性。（4）不规则复杂图像的重构。这是一个具有挑战性的问题,我们选择斯坦福兔子、手、头、龙这些表面凹凸并包含尖锐顶点的图像作为实验对象。由于是全局方法,结果矩阵是稠密的,我们只能处理有限数量的数据点。重构过程中需要选择一些特殊的内部点:一种方法是随机选择边界点,并将法线向内施加以生成这些内部点;另一种方法是利用“3D范式和曲率”估计稀疏三维点的法线,我们将使用这些法线来生成内部点。在凹凸性较大的位置提取多的内部点,并将PDE中的参数λ设置较大的值,可有效完成图像重构,否则重构的图像就会出现伪表面。综上所述,使用本课题提出的隐式表面重建算法,可有效重构各类型区域,在三维曲面重构中发挥作用。
李蓉[10]（2020）在《初中生“方程与不等式”解题中的错误分析及对策研究 ——以甘肃省庆城县两所中学为例》文中认为“方程与不等式”是初中数学“数与代数”领域的核心内容,是刻画现实世界相等关系和不等关系的有效模型,也是实现“实际问题——数学问题——实际问题”这一过程转化的重要工具。为了解初中生“方程与不等式”模块的学习现状,以解题中出现的错误为载体,从错误类型、成因分析和教学对策三个方面展开研究,拟定了三个研究问题:在“方程与不等式”解题中,学生出现的错误有哪些类型?造成这些解题错误的主要原因是什么?基于上述的解题错误类型及归因分析,从教师和学生两个角度出发,在“教”与“学”的过程中可采取的对策有哪些?本研究选取了甘肃省庆阳市庆城县两所中学的374名九年级学生和部分数学教师作为研究对象,通过文献分析法、测试卷法、案例分析法、问卷法以及访谈法等多种方法收集数据,并进行整理与分析。根据测试卷的统计结果,以戴再平等学者的错误分类理论为基础,得出九年级学生在“方程与不等式”解题中出现的主要错误类型有五种:一是概念性质类错误:基本性质掌握不够;方程概念混淆不清;在数轴上表示不等式的解集时,混淆空心圈和实心点所表示的意义;对一元二次方程根的情况与根的判别式的关系模糊。二是运算类错误:法则不清,运用不当;“验根”步骤缺失;消元法的算理不清;符号意识薄弱;最终结果的表达形式不规范。三是策略方法类错误:不善于从反向思考;不能正确识别应用题类型;方程解法不够灵活。四是逻辑类错误:对含参数方程系数间的逻辑关系不清;确定数量关系受阻;题意理解偏差。五是心理类错误:刻板印象引起的思维惰性;忽视二次项系数不为0的隐含条件。通过学生问卷、师生访谈分析等发现知识结构、学习兴趣、数学能力、思维习惯和错误处理等主观因素是造成学生解题错误的主要原因,而家庭背景和教师教学等客观因素也是影响学生解题出错的原因,但影响较小。错误成因具体表现为:一是缺乏数学学科的学习兴趣;二是解题所需的知识储备欠缺;三是数学能力较为薄弱;四是解题习惯尚未养成;五是错误分析和利用的意识淡薄;六是心理素质不强。针对学生出现的解题错误类型,基于成因的探寻分析,笔者提出了如下相应的教学对策:一是提高数学学习兴趣;二是加强知识教学;三是提升数学能力;四是培养良好的解题习惯;五是重视错题的处理及利用;六是强化解题心理素质。
二、方程组特殊解法两种（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、方程组特殊解法两种（论文提纲范文）
（1）HPM视角下二元一次方程组教学研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究问题及意义 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.4 概念界定 |
| 第二章 文献综述与理论基础 |
| 2.1 HPM理论综述 |
| 2.2 数学史融入中学数学教学相关研究 |
| 2.3 数学史融入二元一次方程组研究现状 |
| 2.4 理论基础 |
| 第三章 数学史融入二元一次方程组教学现状 |
| 3.1 访谈内容与分析 |
| 3.2 调查内容与分析 |
| 第四章 二元一次方程组相关历史及教学 |
| 4.1 二元一次方程组概念 |
| 4.2 二元一次方程组解法 |
| 4.3 教材中的数学史 |
| 第五章 HPM视角下教学设计 |
| 5.1 HPM视角下教学设计原则与方法 |
| 5.2 HPM视角下二元一次方程组教学设计 |
| 第六章 实验设计与实施 |
| 6.1 实验设计 |
| 6.2 实验目的 |
| 6.3 实验对象 |
| 6.4 实验变量 |
| 6.5 实验工具 |
| 6.6 实验过程 |
| 第七章 研究结果分析 |
| 7.1 问卷信度及效度 |
| 7.2 综合分析结果 |
| 第八章 研究结论及反思 |
| 8.1 研究结论 |
| 8.2 研究启示及反思 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 在校期间学术情况 |
| 致谢 |
（2）高观点下初中方程教学的主要问题与解决策略（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.4 研究方法 |
| 第二章 文献综述与理论基础 |
| 2.1 相关概念界定 |
| 2.2 国内外研究现状 |
| 2.2.1 国外研究现状 |
| 2.2.2 国内研究现状 |
| 2.2.3 文献述评 |
| 2.3 理论基础 |
| 2.3.1 数学与数学教育相关理论 |
| 2.3.2 教师专业发展相关理论 |
| 第三章 方程的发展及教学要求 |
| 3.1 方程的发展历史 |
| 3.2 初中课程标准中有关方程的内容 |
| 3.3 方程的教学意义 |
| 第四章 高观点下对初中方程的概念及主要解法的解读 |
| 4.1 方程概念与分类 |
| 4.1.1 等式的定义 |
| 4.1.2 关于方程的定义 |
| 4.1.3 方程的分类 |
| 4.2 方程同解定理 |
| 4.2.1 同解方程的原理 |
| 4.2.2 导出方程原理 |
| 4.3 方程解法综述 |
| 4.3.1 方程和方程组解法的一般原理 |
| 4.3.2 公式法 |
| 4.3.3 因式分解法 |
| 4.3.4 换元法 |
| 4.3.5 方程组的解法 |
| 4.4 方程应用及其应用题 |
| 4.5 方程与函数、不等式关系分析 |
| 4.5.1 不等式的定义及性质 |
| 4.5.2 三者之间的关系 |
| 第五章 高观点下对初中生方程学习现状的调查及分析 |
| 5.1 调查方案的设计与实施 |
| 5.1.1 调查目的 |
| 5.1.2 调查内容 |
| 5.1.3 调查对象 |
| 5.1.4 调查实施过程 |
| 5.2 调查的结果分析 |
| 5.2.1 测试卷的情况分析 |
| 5.2.2 测试卷的调查结论 |
| 5.2.3 调查问卷的结果分析 |
| 5.2.4 问卷调查的结论 |
| 5.3 教师访谈 |
| 第六章 中学教师利用“高观点”指导教学的调查及分析 |
| 6.1 调查目的及意义 |
| 6.2 调查对象 |
| 6.3 信度、效度分析 |
| 6.3.1 信度分析 |
| 6.3.2 效度分析 |
| 6.4 调查结果及分析 |
| 第七章 高观下提高初中方程教学质量的策略与建议 |
| 7.1 关于方程概念的教学 |
| 7.2 关于方程解法的教学 |
| 7.3 关于方程应用的教学 |
| 7.4 关于方程与函数、不等式关系的教学 |
| 第八章 结论和建议 |
| 8.1 结论 |
| 8.2 建议 |
| 8.2.1 对一线中学数学教师的建议 |
| 8.2.2 对中学学校的建议 |
| 参考文献 |
| 附录1:测试卷 |
| 附录2:初中生方程学习现状调查问卷 |
| 附录3:教师采用高观点进行教学现状调查问卷 |
| 致谢 |
（3）不同的引入各显精彩——以“求解二元一次方程组（1）”为例（论文提纲范文）
| 1 简单着手层层深入 |
| 2 由新问题联想旧知识 |
| 3 由已知探求未知 |
| 4 已有问题的进一步深入探究 |
| 5 复习温故知新 |
| 6 HPM视角品味数学文化 |
| 7 结束语 |
（4）复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 复对称问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2 线性互补问题的应用背景及研究现状 |
| 1.3 线性离散不适定问题的应用背景及研究现状 |
| 1.4 本文的研究工作与结构安排 |
| 第二章 复对称线性系统的MRMHSS迭代方法 |
| 2.1 MRMHSS迭代方法的提出 |
| 2.2 MRMHSS方法的性质及收敛理论 |
| 2.3 数值结果 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解线性互补问题的MINPS迭代方法 |
| 3.1 MINPS迭代方法的提出 |
| 3.2 MINPS方法的收敛性分析 |
| 3.3 数值结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 新型停机准则下的LSQR迭代方法 |
| 4.1 新型停机准则 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 线性离散不适定问题的MAIT迭代方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 AIT方法 |
| 5.3 MAIT方法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 参数β的一种非定常选取办法 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间的科研成果 |
| 致谢 |
（5）具有特殊块结构线性系统的数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 常用符号表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2.1 鞍点问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2.2 复线性系统的应用背景及研究现状 |
| 1.2.3 块 2 × 2 线性系统的应用背景及研究现状 |
| 1.3 本文的研究内容、方法与创新点 |
| 第2章 鞍点问题的SSOR和Uzawa变形迭代解法及预处理子 |
| 2.1 非奇异鞍点问题的SSOR变形迭代法 |
| 2.1.1 ASSOR方法的构造 |
| 2.1.2 ASSOR方法的收敛性 |
| 2.1.3 数值实验 |
| 2.2 非Hermitian鞍点问题的Uzawa变形迭代法及预处理子 |
| 2.2.1 Uzawa-PPS方法的构造 |
| 2.2.2 Uzawa-PPS方法的收敛性 |
| 2.2.3 预处理矩阵的谱性质 |
| 2.2.4 数值实验 |
| 第3章 非奇异复线性系统的Euler外推迭代解法及预处理子 |
| 3.1 Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.1.1 E-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.1.2 数值实验 |
| 3.2 正则化Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.2.1 RE-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.2.2 数值实验 |
| 3.3 交替Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.3.1 AE-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.3.2 数值实验 |
| 第4章 奇异复对称线性系统的单步迭代解法及预处理子 |
| 4.1 参数化的单步HSS迭代法及预处理子 |
| 4.1.1 P-SHSS方法的半收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 4.1.2 数值实验 |
| 4.2 正则化的E-HS迭代法及预处理子 |
| 4.2.1 RE-HS方法的半收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 4.2.2 数值实验 |
| 第5章 块 2 × 2 线性系统的Givens外推迭代解法及预处理子 |
| 5.1 Givens外推块分裂迭代法及预处理子 |
| 5.1.1 块分裂迭代方法的构造 |
| 5.1.2 收敛性分析 |
| 5.1.3 预处理矩阵的谱性质 |
| 5.1.4 数值实验 |
| 5.2 非精确Givens外推块分裂预处理子 |
| 5.2.1 预处理矩阵的谱性质 |
| 5.2.2 数值实验 |
| 5.3 Givens外推SSOR迭代法 |
| 5.3.1 G-SSOR方法的收敛性 |
| 5.3.2 数值实验 |
| 第6章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）可分离非线性最小二乘及其在空间坐标转换参数解算中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 论文主要研究内容与组织结构 |
| 2 可分离非线性最小二乘与基于矩阵分解的变量投影算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 可分离非线性最小二乘 |
| 2.3 变量投影算法 |
| 2.4 矩阵分解及其在变量投影算法中的应用 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 非线性最小二乘问题的迭代解法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非线性迭代解法概述 |
| 3.3 信赖域算法 |
| 3.4 LM算法 |
| 3.5 算例分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 改进的变量投影算法在空间直角坐标转换参数解算中的应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 空间直角坐标转换模型 |
| 4.3 算例分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 论文主要研究工作总结 |
| 5.2 研究工作展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 |
| 作者简历 |
| 致谢 |
| 学位论文数据集 |
（7）方程组解的可信验证方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| §1.1 可信验证方法概述 |
| §1.2 方程组的可信验证问题概述 |
| §1.2.1 线性方程组的可信验证问题 |
| §1.2.2 非线性方程组的可信验证问题 |
| §1.3 论文结构及主要工作 |
| §1.3.1 论文结构 |
| §1.3.2 主要工作 |
| 第2章 准备知识 |
| §2.1 区间分析理论 |
| §2.1.1 基本概念及表示 |
| §2.1.2 区间运算及其代数性质 |
| §2.1.3 区间值函数 |
| §2.1.4 区间迭代法及其收敛理论 |
| §2.1.5 INTLAB |
| §2.2 线性鞍点问题 |
| §2.2.1 若干经典背景 |
| §2.2.2 鞍点矩阵的基本性质 |
| 第3章 基于Krawczyk区间算子的非线性方程组解的可信验证方法 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.2 主要理论结果 |
| §3.3 改进的可信验证算法 |
| §3.4 数值结果 |
| 第4章 基于Kantorovich存在定理的点估计可信验证方法 |
| §4.1 预备知识 |
| §4.2 三维矩阵范数界定 |
| §4.3 可信验证算法 |
| §4.4 数值实验与结果 |
| 第5章 线性鞍点问题的可信验证 |
| §5.1 研究问题概述 |
| §5.2 一种新证明方法 |
| §5.3 可信验证算法 |
| §5.4 数值实验与结果 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（8）HPM实践对初中数学教师专业发展影响的个案研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 一、选题背景 |
| (一)数学教师专业发展的重要意义 |
| (二)HPM研究日渐深化 |
| (三)我国初中数学教师专业发展面临的主要问题 |
| 二、研究意义和创新之处 |
| (一)研究意义 |
| (二)创新之处 |
| 三、国内外研究现状 |
| (一)关于数学教师专业发展的研究 |
| 1.数学教师专业发展的教育理念 |
| 2.数学教师专业发展的知识结构 |
| 3.数学教师专业发展的能力结构 |
| (二)关于HPM实践研究 |
| (三)关于HPM与教师专业发展的研究 |
| 1.HPM对教师发展的作用 |
| 2.HPM促进教师专业成长的方式 |
| (四)文献小结 |
| 四、研究方法与可行性分析 |
| (一)研究方法 |
| 1.个案研究 |
| 2.文献研究法 |
| 3.课堂观察法 |
| 4.访谈法 |
| (二)可行性分析 |
| 第二章 研究设计 |
| 一、个案确定的背景与过程 |
| 二、研究思路 |
| 三、主要研究工具——SMK和 PCK量表 |
| 四、研究的信效度 |
| 第三章 研究结果与分析 |
| 一、HPM实践促进教师专业发展的个案一 |
| (一)WS教师第一阶段HPM实践 |
| 1.数据梳理与设计实施 |
| 2.教师反思与访谈分析 |
| 3.成长评估与测量 |
| (二)WS教师第二阶段HPM实践 |
| 1.数据梳理与设计实施 |
| 2.教师反思与访谈分析 |
| 3.成长评估与测量 |
| (三)案例小结 |
| 二、HPM实践促进教师专业发展的个案二 |
| (一)SH教师的HPM实践 |
| 1.数据梳理与设计实施 |
| 2.教师反思与访谈分析 |
| 3.成长评估与测量 |
| (二)案例小结 |
| 三、HPM实践促进教师专业发展的个案三 |
| (一)SX教师的HPM实践 |
| 1.数据梳理与设计实施 |
| 2.教师反思与访谈分析 |
| 3.成长评估与测量 |
| (二)案例小结 |
| 第四章 HPM实践对初中数学教师专业发展的影响分析 |
| 一、对教师教学理念的影响 |
| (一)促成了教师数学观、教学观的改变 |
| (二)对HPM的价值有了更全面的理解 |
| (三)改变了教师对HPM教学的消极态度 |
| (四)提高了教师的教学效能感 |
| (五)增强了继续制作和使用HPM课例的意愿 |
| 二、对教师专业知识的影响 |
| 三、对教师教学能力的影响 |
| (一)数学史与教学结合设计能力明显提高 |
| (二)教学反思能力增强 |
| (三)教学批判和研究能力提升 |
| (四)对学生认知预设能力明显增强 |
| 四、HPM实践中教师专业发展效果的影响因素总结 |
| 第五章 HPM实践提升初中数学教师专业发展水平的对策建议 |
| 一、学校方面 |
| (一)多措并举营造积极的HPM学习氛围,提高教师专业能力 |
| (二)充分发挥HPM合作共同体和专家指导作用,培养合作意识 |
| (三)组建专业化的HPM实践团队,促进团队整体提升 |
| (四)深化HPM研究,提高教师HPM科研能力 |
| 二、教师方面 |
| (一)主动丰富数学史理论与实践知识,发展HPM意识 |
| (二)积极开展HPM实践反思,提升教学水平 |
| (三)坚持四平衡原则,“精炼”使用史料 |
| (四)持续开展HPM实践,不断提升教师专业发展水平 |
| (五)加强同事之间HPM实践的交流、切磋 |
| (六)依托HPM实践,主动制定专业发展规划 |
| 研究局限与展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 量表 |
| 附录二 小视频/语音资料 |
| (一)WS教师第二阶段HPM实践小视频资料文本内容简录 |
| (二)SX教师HPM实践语音资料文本内容简录 |
| 附录三 访谈摘录 |
| (一)WS教师第一阶段HPM实践访谈摘录 |
| (二)WS教师第二阶段HPM实践访谈摘录 |
| (三)SH教师访谈摘录 |
| (四)SX教师访谈摘录 |
| 致谢 |
（9）基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 器官成像研究现状 |
| 1.2.2 无网格方法研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 2 径向基无网格方法 |
| 2.1 径向基插值 |
| 2.1.1 插值基函数 |
| 2.1.2 稳定性分析 |
| 2.1.3 留一法交叉验证(LOOCV) |
| 2.2 Kansa方法 |
| 2.3 近似特解法(MAPS) |
| 2.4 局部近似特解法(LMAPS) |
| 2.4.1 确定各配置点的近邻域 |
| 2.4.2 求各配置点处数值解的局部表达式 |
| 2.4.3 求各配置点处数值解的全局表达式 |
| 2.4.4 简单例子 |
| 2.5 基本解方法(MFS) |
| 2.6 本章小结 |
| 3 基于Matern核函数推导Helmholtz型方程的特解 |
| 3.1 二维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.2 三维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.3 Helmholtz型算子乘积的特殊解 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 求解2D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.2 求解3D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.3 2D情况下具有两个边界条件的复合Helmholtz方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 基于无网格方法的PDEs图像重构 |
| 4.1 隐式曲面的PDEs识别 |
| 4.2 MAPS求解隐式曲面的步骤 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.3.1 简单3D图像的表面重构 |
| 4.3.2 简单器官图像的重构和修复 |
| 4.3.3 不规则复杂器官图像重构 |
| 4.3.4 大规模数据不规则图像重构 |
| 4.4 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 程序 |
| 附录2 公式 |
| 2.1 不同RBFS的各个算子下的特解 |
| 2.2 不同微分算子下的基本解 |
| 2.3 符号说明 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（10）初中生“方程与不等式”解题中的错误分析及对策研究 ——以甘肃省庆城县两所中学为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 一、问题提出 |
| (一)研究背景 |
| 1.新课程理念和核心素养——美好的时代愿景 |
| 2.教学实践的反思——不容乐观的现实 |
| 3.“方程与不等式”——“数与代数”的核心内容 |
| (二)研究问题 |
| (三)研究意义 |
| (四)核心概念界定 |
| 1.方程与不等式 |
| 2.数学解题错误 |
| 二、文献综述 |
| (一)数学解题错误相关研究 |
| (二)“方程与不等式”相关问题研究 |
| (三)文献评析 |
| 三、研究思路与方法 |
| (一)研究思路 |
| (二)研究对象 |
| (三)研究方法 |
| 1.文献分析法 |
| 2.调查研究法 |
| 3.案例分析法 |
| 四、学生“方程与不等式”解题错误调查结果及分析 |
| (一)“方程与不等式”测试总体情况分析 |
| 1.各章节得分比率均值 |
| 2.各题正确率与错误率 |
| 3.A、B两所中学学生测试成绩均值的差异检验 |
| 4.不同班级学生测试成绩均值的差异检验 |
| 5.不同性别学生测试成绩均值的差异检验 |
| (二)“方程与不等式”解题中的错误类型 |
| 1.概念性质类错误 |
| 2.运算类错误 |
| 3.策略方法类错误 |
| 4.逻辑类错误 |
| 5.心理类错误 |
| 6.其它类错误 |
| (三)“方程与不等式”解题错误成因分析 |
| 1.影响学生数学解题的主观因素 |
| 2.影响学生数学解题的客观因素 |
| 3.学生解题错误成因小结 |
| 五、提高学生“方程与不等式”解题质量的教学对策 |
| (一)提高数学学习兴趣 |
| (二)加强知识教学 |
| (三)提升数学能力 |
| (四)培养良好的解题习惯 |
| (五)重视错题的处理及利用 |
| (六)强化解题心理素质 |
| 六、研究结论与反思 |
| (一)研究结论 |
| (二)研究反思 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 |
| 附录一 九年级学生“方程与不等式”学习情况调查问卷 |
| 附录二 九年级学生“方程与不等式”测试卷 |
| 附录三 九年级学生“方程与不等式”学习情况的教师访谈提纲 |
四、方程组特殊解法两种（论文参考文献）
- [1]HPM视角下二元一次方程组教学研究[D]. 刘习. 合肥师范学院, 2021(09)
- [2]高观点下初中方程教学的主要问题与解决策略[D]. 王杰. 合肥师范学院, 2021(09)
- [3]不同的引入各显精彩——以“求解二元一次方程组（1）”为例[J]. 郑培珺. 中学数学研究(华南师范大学版), 2020(24)
- [4]复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究[D]. 张维红. 兰州大学, 2020(04)
- [5]具有特殊块结构线性系统的数值算法研究[D]. 李成梁. 福建师范大学, 2020(12)
- [6]可分离非线性最小二乘及其在空间坐标转换参数解算中的应用[D]. 王路遥. 山东科技大学, 2020(06)
- [7]方程组解的可信验证方法[D]. 侯国亮. 吉林大学, 2020(08)
- [8]HPM实践对初中数学教师专业发展影响的个案研究[D]. 师望舒. 济南大学, 2020(01)
- [9]基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究[D]. 刘晓艳. 太原理工大学, 2020(07)
- [10]初中生“方程与不等式”解题中的错误分析及对策研究 ——以甘肃省庆城县两所中学为例[D]. 李蓉. 西北师范大学, 2020(01)